紙看似柔弱，卻會在不經意間偷襲你的手指。通常是翻書或整理文件時，你以為手指皮膚和書頁紙張只會有蜻蜓點水般的一面之緣，但直至感到指尖隱隱作痛，你才見手指上那道已被血液描紅的輪廓——紙方才輕撫你指尖的瞬間，已然在手指上劃出了一道傷口。

也不知這算不幸還是幸運，因為紙劃破手指算是小概率事件——平常你就算故意用紙去劃手，很多時候也劃不破。

這引起了丹麥技術大學（Technical University of Denmark）幾位物理學家的興趣，他們開始查閱研究論文，想知道什么樣的紙，用什么樣的方式，最容易劃破手指。

圖片來源：原論文

太厚太薄都不行

但他們卻發現，這么有趣的問題竟然沒有人研究過？！好吧，既然查閱不到相關的研究，他們就自己研究！

他們找來了不同厚度的紙，嘗試用各種角度去切手指，想看看怎樣才最容易切出傷口。不過鑒于這幾位物理學家都不太愿意貢獻自己的手指，他們實驗中用的“手指”其實是用明膠制作的模型。

被紙劃破的真手指（圖片來源：ComprehensiveItem - Own work, CC BY-SA 4.0）

他們觀察到，在相同的切割角度下，當紙很厚時，切割時只能讓明膠凹陷下去，但不能成功切開明膠；

很厚的紙讓明膠凹陷（來源：原論文）

而當其它條件保持不變，換用薄一點的紙時，就能夠切開明膠了——但紙也不是越薄就越好；

薄一點的紙能切開明膠（來源：原論文）

因為當他們換用更薄的紙時，紙不僅沒能切開明膠，還把自己給壓彎了。

太薄的紙會壓彎自己（來源：原論文）

此外，他們還測試了不同切割角度下，紙切破明膠手指的難易程度。結果發現，切割時紙和明膠表面的夾角越小，越容易切開口子。

總結一下就是，紙的切割角度越小越容易切開明膠；但在給定切割角度下，紙太厚或太薄都切不開明膠。

紙劃手的三種結果（圖片來源：原論文）

為什么會出現這樣的變化趨勢呢，最容易切開手指的厚度和角度又是多少呢？

越薄越“鋒利”？

首先我們來探究一下，為什么在相同切割角度下，相對薄一點的紙更容易切開皮膚。

便于理解的解釋是——紙越薄就越“鋒利”。在切割皮膚時，紙施加給皮膚的所有力都集中在紙和皮膚間的接觸表面上。而紙越薄，它與皮膚間的接觸面積就越小，因此施加相同的力時，皮膚在單位面積上所受的力會更大，即“應力”（stress，σ=F/s）更大。

紙向皮膚施加的應力會有兩種作用，一是讓皮膚表面向下凹陷形變，二是將接觸面兩邊的皮膚向兩側拉扯。

紙劃明膠的物理模型（圖片來源：原論文）

當向兩側拉扯皮膚的應力（即“剪切應力” shear stress——應力在與皮膚表面切向的分量）超過皮膚的承受范圍時（取決于皮膚的楊氏模量和斷裂硬度），皮膚就會被撕裂開（發生塑性形變），即被紙切開了。

而前文說到，紙越薄，應力越大，顯然更容易超過皮膚的承受范圍，從而切開皮膚。此外，切割角度越小，應力在皮膚表面切向的分量“剪切應力”就越大，也更容易切開皮膚。

切割角度與紙的厚度對紙是否能切開皮膚的影響（圖片來源：原論文）

那為什么當紙過薄的時候，又切不開皮膚了呢？

太薄也不行

紙太薄，它就過于柔弱了。

在以上的分析中，我們其實假定紙是不會形變的，但在開頭的實驗中我們可以看到，過于薄的紙，在切割過程中會發生彎曲——這是因為太薄的紙強度較低，自身承受不了切開皮膚所需的應力。

這在工程力學上叫做“屈曲”或“壓曲”（buckling），即柱子或橫梁等結構在承受過大的壓縮負荷時，突然彎曲或形變的情況。

材料發生屈曲（圖片來源：Mircalla22 (talk)- Public Domain）

在實際生活的應用中，工程師在工程設計時必須仔細考慮屈曲問題，以確保結構保持安全和穩定，尤其是在重載情況下。

天太熱，鐵軌受熱膨脹發生屈曲（圖片來源：Railpedia.nl - CC BY-SA 3.0）

而對于過薄的紙，它們在達到能切開皮膚所需的應力之前就發生了屈曲，因此不足以切開皮膚。

通俗點說，紙能不能切開皮膚，實際上是看在應力增加的過程中，紙和皮膚誰先達到承受極限——先達到皮膚的極限就可以成功切開皮膚，先達到紙的承受極限就會讓紙發生屈曲。

“最危險”的紙

越薄的紙越鋒利，但也更容易達到自身發生屈曲的極限。而當一張紙能夠給皮膚的最大應力，剛剛能夠切開皮膚，又剛剛不至于發生屈曲時，這種厚度的紙就是最容易劃傷手指的紙。于是這幾位物理學家算了算，厚度 65 微米的紙就剛好滿足這個條件。

他們還算出，在真實生活中， 65 微米厚的紙能成功切開手指的可能性為 21%，換句話說，如果你翻閱的紙厚度剛好為 65 微米，那么平均這種紙每劃過你的手指五次，就有一次成功劃傷手指，好危險！

那么我們生活中什么紙的厚度最接近 65 微米呢？許多點陣打印機（dot matrix printer）用紙的厚度就剛好是 65 微米，此外，很多報紙的厚度也差不多。

一種點陣打印機（圖片來源：Nakamura2828 at us.wikipedia - CC BY-SA 3.0）

但作為科研人員，這幾位物理學家專門指出：兩大學術期刊《科學》（Science，55 微米）和《自然》（Nature，49 微米）厚度很接近 65 微米，也十分危險！

圖片來源：論文作者

找到“最危險”的紙之后，這幾位科學家還專門通過 3D 打印，制作了一種刀架，可以把 65 微米厚的紙當成刀片使用（3D 打印數據已上傳，可自行下載 ），據說切蔬菜雞肉啥的賊輕松！

紙刀（圖片來源：原論文）

他們已經將該研究過程整理成論文，發表在了期刊《物理評論 e》（Physical Review E）上，感興趣可以去讀一讀。

參考文獻

[1]https://journals.aps.org/pre/accepted/aa072Kc5A071ae0708c39799a466b7d26e3ac2a0e#abstract

[2]https://github.com/Jensen-Lab/PhysicsOfPaperCuts/tree/main