在數學史上，有一道著名的“化圓為方”難題。

它由公元前5世紀由一位在獄中的古希臘哲學家提出，講的就是給定一個圓，只用圓規和一個無刻度的直尺畫一個正方形，使其面積等于該圓的面積。

然而，誰也沒想到，這道題一直困擾了數學家2000多年。

最終卻被大家發現，根本畫不出來。

究其原因，跟π是超越數有關——

是的，π除了小學生都知道的無理數身份，還是一個超越數。

而說起超越數，那可真是一個難以理解的概念，多少專業的教材也不能把它講得通俗易懂。

只能說它是無理數的一類，但比無理數還“無理”。。

從18世紀至今，前前后后200多年，一大批來自各個國家的數學家都撲在了它身上，找證明它存在的證據、判定它的方法。

然而，這個“小東西”是如此捉摸不透，直到現在還有很多疑似數字沒能被證明、還有一堆和它相關的開放難題沒被搞定。

“可怕”的是，不少數學家表示：

其實我知道弄清哪個數字是不是超越數根本沒有什么卵用，但我就是停不下來！

所以，今天這篇就是一期數學干貨，它來自Quanta Magazine專欄（作者David S. Richeson），算是把超越數的來龍去脈講得最清楚易懂又不枯燥的一篇，特此編譯。

那么，喜歡數學的今天有福了——

再愛超越數一次，看看它究竟是怎么被數學家發現的，它又是如何跟那道千年難題扯上關系的。

解不出來的“化圓為方”難題

數學家利奧波德·克羅內克 (Leopold Kronecker) 有一句名言：

上帝親自創造了自然數，余者皆出自凡人之力。

如今，盡管各類數字都有著迷人又復雜的歷史，但基本大家都對它們的定義“門兒清”。

比如整數就是正整數、零加負整數。有理數是能夠表示成兩個整數之比的數，其中包括整數、有限小數和無限循環小數。

如果這個比的小數位永遠除不盡且不重復，那它就是無理數。

接著有理數和無理數共同構成實數，實數和虛數又組成復數。

其中，對于有理數，今天我們一致認為是生活在公元前五世紀左右的希帕索斯發現的（他還因此而喪命）。

但事實上，他的發現是屬于幾何意義而非算術。

他證明，可以找到兩條不能整分成若干個相等長度的線段，例如正方形的邊和對角線。

今天我們管這個叫不可公度，也就是說它們的長度不是彼此的有理倍數。

因此，一個正方形的對角線的長度是邊長的√2倍，這個√2就被叫做無理數。

毫無疑問，利用圓規和直尺，我們能畫出具有任何正有理長度的線段。

然而，一些無理長度也可以。比如著名的黃金比例(1+√5)/2 ，畫一個邊長為1的正五邊形，取其對角線就是了。

1637年，著名的數學家笛卡爾證明：

只要一個數能通過整數進行加減乘除和平方根的運算來表示，那么我們就能畫出所對應的線段（比如所有正有理數，還有剛剛說的√2和黃金比例）。

由此，如果我們能用一個確切的算式來表示π，是不是就可以解決“化圓為方”的難題了！

問題是，找不到。

轉眼時間就過了200年（兩個世紀沒了）。

一位名叫Pierre Wantzel的法國數學家才終于證明：

如果一個數字能用線段畫出來，也就是可構造，那么它也必須是一個不能進一步因式分解或簡化的多項式的根，并且這個多項式最高項的次數是2的冪（比如2、4、8、16等）。

舉個例子：

√2就是多項式x2–2的根，黃金比例則是x2–x–1 的根，所以它們都能被畫出來；

而像?√2是多項式x3–2的根，不符合2次冪的條件，所以這個長度的線段是不可能畫出來的。

不過，就算知道了這個定律，大家還是沒有找到π的確切表達，化圓為方難題仍然懸而未決。

最終被證明：根本畫不出

事實上，解決化圓為方這個難題的關鍵，正是猶如之前數學家將實數分為有理數和無理數一樣——需要將復數也分為兩個集合。

對于復數來說，其中許多都等于整系數多項式的根，數學家就把這個稱作代數數。

每個有理數都是代數數，一些無理數也是，例如?√2 ，還有即使是虛數i，它也算，因為它是x2+1的根。

并非所有復數都如此，那就把不屬于這個范疇之內的值叫做超越數。

不過，超越數是否存在并非顯而易見，并且證明一個給定數是不是超越數也極具挑戰，因為需要反證一個數不是任何整系數多項式的根。

第一個攻破點誕生于1844年，一個叫做約瑟夫·劉維爾的法國數學家想到了這樣一個間接辦法：

既然無理數不能很好地用有理數來近似，那如果我找到一個可以用較小分母的分數無限逼近的數，那它一定是別的東西：超越數。

于是，劉維爾構造了這樣一個數字：

L=0.1100010000000000000000010…

它只有0和1，其中1出現的位置依次由“n!”決定，也就是第一個1的位置等于“1!”，也就是1，第二個等于“2!”，出現在第2位，第三個等于“3!”，出現在第6位，以此類推。

這個巧妙的設計，讓分數1/10、11/100和110001/1000000，都能跟L本身這個值非常相近。

由此證明超越數的存在（也就是他造的這個L）。

不過，π這個數字并不滿足劉維爾的條件（不能用有理數無限逼近），因此π是不是超越數還是不清楚。

重要突破來自1873年，也就是近30年之后。

一個叫做Charles Hermite的法國數學家設計了一種巧妙的方法證明了自然對數的底數e是超越數。

這是第一個非人為設計的超越數，使得九年之后，德國數學家林德曼終于在他的理論之上，證明了π是超越數。

首先，他證明了只要d是非零代數數，ed就是超越數。

換言之，也就是說如果ed是代數數，但d要么是0，要么是超越數。

這下，基于數學界中被公認為最完美的公式：歐拉恒等式，eπi=?1，就能推出π的類別了。

因為-1是代數數，基于剛剛的定理，πi一定是超越數，由于i又是代數數，所以π一定是超越的。

這樣一來，就“大事不好”了——

π是超越數就意味著π不符合上一段說的“可以畫出來”的線段的定義，因此古希臘哲學家幾千年前提出來的化圓為方的難題原來根本就不可能實現。

故事還沒結束

化圓為方的故事結束了，但關于超越數的探索才剛剛開始。

就在e被證明是超越數后不久，又一位數學家證明了無窮大的數其實有不同的大小，但有理數的無窮大與整數的無窮大相同。這樣的集合被稱為“可數無窮的（countably infinite）”。

然而，實數和無理數的集合更大，是不可數的無窮大；與此同時，雖然代數數集包含所有有理數和無窮多個無理數，但它仍然是無窮大較小、可數的無限集合。

因此，它的補集，也就是超越數，是不可數無限的。

換句話說，絕大多數實數和復數都是超越數。

——雖說超越數這么多，但到了20世紀之交，數學家也只能確定其中非常少數的幾個。

1900年，當時有名的德國數學家戴維·希爾伯特列出了一份著名的23個最重要的未解決數學問題清單，其中第七個問題就是：

證明當a是代數數且不等于0或1，而b是代數無理數時，ab是超越數。

1929年，年輕的俄羅斯數學家Aleksandr Gelfond證明了b=±i√r和r是正有理數的特例，意味著eπ 是超越數。

這項結果令人吃驚，因為根據定理要求，e和π都不是代數數。

然而，通過再次巧妙地操縱歐拉恒等式，就知道怎么回事了：

不久之后，又有數學家又發現2√2是超越數。接著，前面戴維·希爾伯特列出的第七個問題也被兩個數學家獨立解決了。

再往后，數學家艾倫·貝克 (Alan Baker) 發表了一系列文章，將前面這些人的成果做了概括總結，使得我們對超越數有了更深刻的理解，因此還獲得了1970年的菲爾茲獎。

當然，31歲的他獲此殊榮的最大成就還是證明諸如下面這樣兩個值也是超越數：

直到如今，關于超越數的開放問題還比比皆是，并且有許多具體的、看起來“非常超越”的數字，一直無法被證明，像什么“eπ”、“e+π”、“ee ”、“ππ”、 “πe”…… 全都在列。

但如開頭所講，數學家說了：

知道誰是超越數可能沒有什么實際用處，但如果我們有能力知道卻選擇不知道，這肯定是不能接受的。

狠狠respect了。